Введение ........................................................ 3
I. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ....... 4
Лекция 1. Производная функции .................................. 4
Производная функции в точке. Односторонние производные.
Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и
нормали к кривой. Бесконечная производная. Физический и
экономический смысл производной. Основные правила
дифференцирования. Производная сложной функции. Обратная
функция и ее дифференцирование. Производные элементарных
функций. Гиперболические функции и их дифференцирование.
Логарифмическое дифференцирование. Таблица производных.
Дифференцирование параметрически заданных функций. Понятие
неявной функции и ее дифференцирование. Производные
комплекснозначных функций действительной переменной.
Вектор-функция скалярного аргумента и ее дифференцирование.
Задачи и упражнения
Лекция 2. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы
высших порядков ................................................ 44
Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции, его
геометрический смысл. Исчисление дифференциалов. Применение
дифференциалов в приближенных вычислениях. Инвариантность
формы дифференциала. Производные высших порядков. Высшие
производные параметрически и неявно заданных функций. Формула
Лейбница. Дифференциалы высших порядков. Задачи и упражнения
Лекция 3. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Правило Лопиталя ............................................... 64
Локальный экстремум функции. Теорема Ферма. Теорема Ролля и ее
следствия. Теоремы Коши и Лагранжа. Следствия из теоремы
Лагранжа. Правило Лопиталя. Задачи и упражнения
Лекция 4. Формула Тейлора ..................................... 85
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Многочлен
Тейлора. Формула Маклорена. Остаточный член формулы Тейлора
в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций
по формуле Тейлора. Приложения формулы Тейлора. Задачи и
упражнения
Лекция 5. Исследование функций с помощью производных ......... 107
Монотонность и экстремумы функций. Необходимые и достаточные
условия экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значения
функции на отрезке. Выпуклость и точки перегиба функции.
Асимптоты графика функции. Построение графиков функций.
Задачи и упражнения
II. Дифференциальное исчисление функций многих переменных .... 133
Лекция 6. Функции многих переменных .......................... 133
Окрестность точки на плоскости и в пространстве. Открытые и
замкнутые множества. Связные и ограниченные множества на
плоскости. Кривые в R". Понятие функции многих пере-
менных (ФМП). Линии и поверхности уровня ФМП. Предел ФМП в
точке и его свойства. Повторные пределы. Непрерывность ФМП
в точке. Свойства функций, непрерывных в точке и в области.
Задачи и упражнения
Лекция 7. Частные производные функций многих переменных ...... 162
Частные производные ФМП первого порядка. Дифференцируемость
ФМП в точке. Необходимое и достаточное условия дифференциру-
емости. Дифференциал ФМП. Дифференцирование сложных функций.
Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по
направлению. Градиент. Связь градиента с производной по
направлению. Геометрический смысл частных производных
функций двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности. Геометрический смысл дифференциала функций двух
переменных. Задачи и упражнения
Лекция 8. Производные и дифференциалы высших порядков
функций многих переменных. Формула Тейлора ................... 203
Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве
смешанных производных. Дифференциалы высших порядков.
Второй дифференциал ФМП как квадратичная форма. Матрица
Гессе. Формула Тейлора для ФМП с остаточным членом в форме
Лагранжа и Пеано. Дифференциальная форма формулы Тейлора.
Задачи и упражнения
Лекция 9. Неявные функции .................................... 231
Понятие неявной функции, определенной одним уравнением.
Теорема существования неявной функции. Дифференцирование
неявной функции, определенной одним уравнением. Неявная
функция многих переменных, определенная одним уравнением,
и ее дифференцирование. Неявные функции, определяемые
системой двух уравнений, и их дифференцирование. Задачи
и упражнения
Лекция 10. Экстремумы ФМП ..................................... 250
Понятие локального экстремума ФМП. Необходимое условие
экстремума. Достаточные условия экстремума. Метод наи-
меньших квадратов. Экстремум неявно заданных функций.
Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой
области. Понятие условного экстремума. Метод множителей
Лагранжа. Задачи и упражнения
Литература .................................................... 284
|
