Оглавление

Предисловие ..................................................... 7
1. Примеры уравнений ............................................ 9
   1.1. Определение дифференциальных уравнений .................. 9
        1.1.1. Обыкновенные уравнения ........................... 9
        1.1.2. Системы обыкновенных дифференциальных
               уравнений ....................................... 10
   1.2. Примеры уравнений ...................................... 11
        1.2.1. Модель динамики численности популяции ........... 11
        1.2.2. Уравнение для капитала .......................... 11
        1.2.3. Уравнение для загрязнения ....................... 11
        1.2.4. Модель хищник - жертва .......................... 12
        1.2.5. Уравнение движения материальной точки ........... 12
   1.3. Решение уравнения ...................................... 13
2. Скалярные уравнения первого порядка ......................... 15
   2.1. Геометрическая интерпретация уравнения
        в нормальной форме ..................................... 16
   2.2. Общее и частное решение ................................ 18
   2.3. Аналитические методы решения ........................... 19
        2.3.1. Уравнения с разделяющимися переменными .......... 19
        2.3.2. Линейные уравнения первого порядка .............. 22
        2.3.3. Нелинейные уравнения, допускающие
               преобразование в линейные уравнения ............. 24
        2.3.4. Уравнения в полных дифференциалах ............... 25
        2.3.5. Уравнения, не разрешенные относительно
               производной ..................................... 29
        2.3.6. Теорема Пикара .................................. 31
3. Линейные системы первого порядка ............................ 35
   3.1. Свойства линейных систем ............................... 36
        3.1.1. Теорема существования и единственности .......... 36
        3.1.2. Операторное представление ....................... 36
        3.1.3. Определитель Вронского .......................... 37
   3.2. Методы решения систем .................................. 42
        3.2.1. Метод вариации для нахождения частного решения .. 42
        3.2.2. Нахождение частного решения путем
               преобразования уравнения (3.6) .................. 43
        3.2.3. Формула общего решения и решения задачи Коши .... 44
        3.2.4. Системы с постоянными коэффициентами ............ 44
4. Уравнения высокого порядка .................................. 61
   4.1. Теорема существования и единственности ................. 62
   4.2. Уравнения, допускающие понижение порядка ............... 64
   4.3. Линейные уравнения ..................................... 67
        4.3.1. Линейные однородные уравнения ................... 68
        4.3.2. Неоднородные линейные уравнения ................. 76
   4.4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ........ 80
        4.4.1. Линейные однородные уравнения ................... 80
        4.4.2. Линейные неоднородные уравнения ................. 88
5. Вопросы устойчивости решений ................................ 99
   5.1. Устойчивость и фазовое пространство .................... 99
        5.1.1. Понятие устойчивости решения .................... 99
        5.1.2. Понятие фазового пространства ...................101
   5.2. Автономные системы .....................................102
        5.2.1. Классификация траекторий автономных систем ......103
        5.2.2. Фазовые траектории двумерных линейных
               систем с постоянными коэффициентами .............104
        5.2.3. Линейные системы с постоянными коэффициентами ...111
   5.3. Нелинейные системы .....................................115
        5.3.1. Анализ с помощью функции Ляпунова ...............115
        5.3.2. Анализ с помощью первого приближения ............117
6. Вариационные задачи .........................................123
   6.1. Функционалы и функциональные пространства ..............123
        6.1.1. Метрические пространства ........................123
        6.1.2. Линейные нормированные пространства .............124
        6.1.3. Непрерывные функционалы .........................125
        6.1.4. Задачи вариационного исчисления .................126
   6.2. Задачи на безусловный экстремум ........................127
        6.2.1. Уравнение Эйлера для функционалов, зависящих
               от скалярных функций ............................127
        6.2.2. Система уравнений Эйлера для функционалов,
               зависящих от векторных функций ..................130
   6.3. Задачи на условный экстремум ...........................131
        6.3.1. Голономные связи ................................131
        6.3.2. Неголономные связи ..............................135
        6.3.3. Изопараметрическая задача .......................137
   6.4. Задача об оптимальном управлении .......................138
        6.4.1. Формулировка задачи оптимального управления .....139
        6.4.2. Эквивалентная формулировка ......................140
        6.4.3. Принцип максимума Понтрягина ....................141
        6.4.4. Задача об оптимальном быстродействии ............142
Список литературы ..............................................145