Родился в Петербурге в семье присяжного поверенного, его дед был потомственным сибирским казаком.

Окончил физико-математический факультет Петроградского университета, (1922), работал в Сейсмологическом институте АН СССР, преподавал в ленинградских вузах. Работал заведующим отделом дифференциальных функциональных уравнений (с 1932), заместителем директора (1940-1942), директором (1942-1943) Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР. Во время Великой Отечественной войны, в трудных условиях эвакуации в Казань, много сделал для оказания эффективной помощи фронту и организации прикладных исследований в институте.

В возрасте 24 лет избран членом-корреспондентом (1933), а затем - действительным членом (1939) АН СССР и долгое время оставался самым молодым академиком в стране.

В 1943 году перешел в Институт атомной энергии, где работал с физиками - академиками И.В.Курчатовым, И.К.Кикоиным, М.А.Леонтовичем, занимал должность заместителя директора этого института (1944-1957). Работал над исследованием сложных систем получения кондиционного ядерного горючего. Значительная часть проблем относилась к уравнениям математической физики. В то время ЭВМ еще не было, поэтому для получения численных результатов требовалось много усилий и изобретательности. За исследования, выполненные в Институте атомной энергии, удостоен высоких правительственных наград.

С.Л.Соболев одним из первых понял значение вычислительной математики и кибернетики и возглавил первую в стране кафедру вычислительной математики в Московском государственном университете (1952-1958).

С.Л.Соболев вместе с академиками М.А.Лаврентьевым и С.А.Христиановичем выступил инициатором создания Сибирского отделения Академии наук СССР (1957). Основатель и первый директор Института математики СО АН СССР (1957-1983). Член Президиума СО АН СССР (1958-1984). Главный редактор журнала «Известия Сибирского отделения АН СССР» (1962-1968), «Сибирского математического журнала» СО АН СССР (1968-1988). Один из организаторов Новосибирского государственного университета (НГУ), профессор (1959-1983), основатель и заведующий кафедрой дифференциальных уравнений (1959-1976).

Был избран депутатом Верховного Совета РСФСР.

После отъезда в Москву работал главным научным сотрудником, советником Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР (1984-1989).

С.Л.Соболев - один из крупнейших математиков XX века, внесший основополагающий вклад в развитие современной математики. Им созданы новые разделы математики, введены важные понятия, разработаны мощные методы исследования, решен ряд крупных научных проблем. Он сыграл важную роль в формировании крупнейших математических школ в СССР и за рубежом, в становлении и развитии новых направлений прикладной математики, имеющих важное государственное значение.

Был избран иностранным членом Национальной академии наук Деи Линчеи (Италия, 1966), Академии наук ГДР (1967), Академии наук Института Франции (1978), почетным членом Эдинбургского королевского общества (Великобритания, 1963), членом Американского математического общества (США, 1964), почетным доктором многих иностранных университетов.

Герой Социалистического Труда (1951). Лауреат Сталинской премии II (1941) и I (1951, 1953) степени, Государственной премии СССР (1986). Удостоен золотой медали им. М.В.Ломоносова АН СССР, золотой медали «За заслуги перед наукой и человечеством» (АН ЧССР).

Награжден орденами Ленина (1945, 1949, 1951, 1953, 1958, 1967, 1975), Октябрьской Революции (1978), Трудового Красного Знамени (1954), «Знак Почета» (1940).