Einleitung
Teil I Lineare Systeme und Markovsche Diffusionsprozesse
Kap. 1: Lineare Systeme
1.1 Allgemeine Lösungsmethoden ................................ 16
1.2 Lineare Vierpole .......................................... 20
1.3 Zeitinvariante Vierpole und stationäre Prozesse ........... 23
1.4 Zustandsraumdarstellung eines linearen Vierpols ........... 25
1.5 Gaußsche Prozesse und lineare Vierpole .................... 28
1.6 Lineare Mehrpole .......................................... 29
Kap. 2: Stochastische Differentialgleichungen und Markovsche
Diffusionsprozesse
2.1 Markov-Prozesse ........................................... 31
2.2 Die Fokker-Planck-Gleichung ............................... 32
2.3 Differentialgleichungen mit weißen Gaußschen
Eingangsprozessen ......................................... 37
2.4 Der Wiener-Prozeß ......................................... 40
2.5 Stochastische Differentialgleichungen ..................... 44
2.6 Itosche Differentialgleichungen ........................... 45
2.7 Itosche Differentialgleichungen als Grenzfall
gewöhnlicher Differentialgleichungen ...................... 46
2.8 Stochastische Differentialgleichungen nach
Stratonowitsch ............................................ 50
2.9 Zur Approximation realer Systeme .......................... 55
Teil II Analyse durch Funktionalreihenentwicklungen
Kap. 3: Die statistische Linearisierung
3.1 Die Taylor-Linearisierung ................................. 60
3.2 Die statistische Linearisierung ........................... 62
3.2.1 Die Grundidee der statistischen Linearisierung ..... 62
3.2.2 Begründung der statistischen Linearisierung
als Analysemethode ................................. 65
3.2.3 Approximation der unbekannten Dichte ............... 68
3.2.4 Zusammenhang zwischen der statistischen und
Taylorschen Linearisierung ......................... 71
3.3 Wichtige Sonderfälle ...................................... 72
3.3.1 Die Differentialgleichungen der statistischen
Linearisierung ..................................... 73
3.3.2 Systeme mit weißen Eingangsprozessen ............... 75
3.3.3 Die stationären Gleichungen der
statistischen Linearisierung ....................... 77
3.4 Die erweiterte statistische Linearisierung ................ 80
3.4.1 Möglichkeiten und Grenzen der statistischen
Linearisierung ..................................... 80
3.4.2 Die erweiterte statistische Linearisierung ......... 82
3.4.3 Näherungsweise Bestimmung der
Quasimomentenfunktionen ............................ 84
3.5 Näherungsweise Bestimmung von Korrelationsmatrizen
und Leistungsdichte-spektren .............................. 87
3.6 Beispiele ................................................. 89
Kap. 4: Iterative Konstruktion von Funktionalreihen
4.1 Allgemeine Darstellung der Iterationsverfahren ........... 111
4.2 Iterationsverfahren mit linear eingeführtem
Entwicklungsparameter .................................... 116
4.2.1 Iterationsverfahren mit stochastischer
Fundamentallösung ................................. 117
4.2.2 Iterationsverfahren mit deterministischer
Fundamentallösung ................................. 118
4.3 Die Volterrasche Funktionalreihe ......................... 119
4.4 Potenzreihendarstellungen der Systemnichtlinearitäten .... 122
4.5 Mehrdimensionale Systeme mit einer Nichtlinearität ....... 126
4.5.1 Allgemeines Verfahren zur Konstruktion von
Funktionalreihen für den Systemausgangsprozeß ..... 128
4.5.2 Spezielle Iterationsverfahren ..................... 130
4.6 Beispiele ................................................ 132
Kap. 5: Bestimmung der Volterra-Reihe aus dem Blockschaltbild
5.1 Verkürzte Darstellung der Volterra-Reihe ................. 151
5.2 Bestimmung der resultierenden Volterra-Kerne im
Zeitbereich .............................................. 153
5.2.1 Addition und Multiplikation der Ausgangsprozesse
zweier Subsysteme ................................. 153
5.2.2 Systeme mit Eingangsprozessen, die einen
deterministischen Anteil besitzen ................. 154
5.2.3 Reihenschaltung nichtlinearer Systeme ............. 156
5.2.4 Rückkopplung eines nichtlinearen Systems .......... 159
5.2.5 Beispiel .......................................... 163
5.3 Bestimmung der resultierenden Volterra-Kerne im
Frequenzbereich .......................................... 166
5.3.1 Eigenschaften der mehrdimensionalen Fourier-
Transformation .................................... 167
5.3.2 Bestimmung resultierender Volterra-Kerne .......... 169
5.3.3 Beispiel .......................................... 172
5.4 Bestimmung der stationären Momentenfunktionen im
Frequenzbereich .......................................... 173
5.4.1 Beschreibung des Eingangsprozesses ................ 174
5.4.2 Bestimmung der Momentenfunktionen des
Ausgangsprozesses ................................. 175
5.4.3 Einige Assoziationsregeln ......................... 178
5.4.4 Gaußsche Eingangsprozesse ......................... 180
5.5 Beispiel ................................................. 182
Teil III Analyse Markovscher Diffusionsprozesse
Kap. 6: Lösungsmethoden für die Fokker-PIanck-Gleichung
6.1 Eindimensionale Systeme .................................. 189
6.1.1 Anfangs- und Randbedingungen ...................... 189
6.1.2 Stationäre Prozesse ............................... 193
6.1.3 Differentialgleichungen für Erwartungswerte ....... 196
6.1.4 Spezielle Transformationen ........................ 200
6.1.5 Beispiele ......................................... 203
6.2 Mehrdimensionale Systeme ................................. 214
6.2.1 Anfangs- und Randbedingungen ...................... 214
6.2.2 Transformationen .................................. 218
6.2.3 Stationäre Prozesse ............................... 218
6.2.3.1 Der Potentialfall ........................ 219
6.2.3.2 Zweidimensionales Beispiel ............... 221
6.2.4 Differentialgleichungen für Erwartungswerte ....... 225
6.3 Analyse von Verweilzeiten ................................ 226
6.3.1 Bestimmung mittlerer Verweilzeiten durch
Lösung der prospektiven Fokker-PIanck-
Gleichung ......................................... 227
6.3.2 Bestimmungsgleichungen für mittlere
Verweilzeiten und ihre Momente .................... 228
6.3.3 Beispiele ......................................... 232
6.4 Spezielle Näherungsmethoden .............................. 235
6.4.1 Die bedingt-Gaußsche Näherung ..................... 235
6.4.2 Iterative Lösung der Fokker-PIanck-Gleichung ...... 242
6.4.3 Beispiele ......................................... 248
Kap. 7: Momentenentwicklungen der Verteilungsdichte
7.1 Die Methode der Quasimomentenentwicklung ................. 252
7.1.1 Allgemeine Einführung der
Quasimomentenfunktionen ........................... 253
7.1.2 Eigenschaften der Quasimomentenfunktionen ......... 255
7.1.3 Bestimmungsgleichungen für die
Quasimomentenfunktionen ........................... 258
7.2 Näherungsweise Bestimmung der Quasimomentenfunktionen .... 261
7.2.1 Das Näherungsverfahren QMFm(P0) ................... 261
7.2.2 Das Näherungsverfahren QMFm(P0|r) ................. 262
7.2.3 Mehrdimensionale Systeme .......................... 265
7.3 Sonderfälle der Quasimomentenentwicklung ................. 267
7.3.1 Die Momentenentwicklung ........................... 267
7.3.2 Die Gram-Charlier-Reihe und ihre
Verallgemeinerung ................................. 269
7.3.2.1 Der eindimensionale Fall ................. 269
7.3.2.2 Der mehrdimensionale Fall ................ 271
7.4 Beispiele ................................................ 273
7.5 Die bedingten Quasimomentenfunktionen .................... 282
7.5.1 Quasimomentenentwicklung der Übergangsdichte ...... 282
7.5.2 Bestimmung von Verbundcharakteristika ............. 283
7.6 Quasimomentenentwicklung von Verbunddichten .............. 284
7.6.1 Rückführung der Verbunddichte auf eine
momentane Dichte .................................. 284
7.6.2 Näherungsweise Bestimmung von Kreuz- und
Korrelationsfunktionen ............................ 288
7.6.3 Bestimmung von spektralen
Leistungsdichtefunktionen ......................... 290
7.6.4 Approximation der Verbunddichte ................... 291
7.7 Beispiel ................................................. 293
7.8 Weitere Entwicklungsmöglichkeiten ........................ 296
Kap. 8: Die (zeitliche) Mittelungsmethode
8.1 Die Methode der harmonischen Linearisierung .............. 299
8.1.1 Transformation und zeitliche Mittelung der
Systemgleichung ................................... 299
8.1.2 Statistische Analyse der stochastischen
Amplitude und Phase ............................... 303
8.1.3 Systeme mit zustandsunabhängigen
Eingangsintensitäten .............................. 306
8.2 Beispiele ................................................ 308
8.2.1 Schmalbandfilterung eines breitbandigen
Prozesses ......................................... 308
8.2.2 Statistische Analyse des Wien-Oszillators ......... 309
8.3 Das allgemeine (zeitliche) Mittelungsprinzip ............. 312
Anhang
A. 1: Der Nabla-Operator ...................................... 315
A. 2: Berechnung von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
Gaußscher Prozesse ...................................... 317
Literaturverzeichnis .......................................... 319
Symbolverzeichnis ............................................. 325
Sachwortverzeichnis ........................................... 331
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