Борисенко А.И. Механика сплошной среды: В 3 ч. Ч.1: Векторный анализ и начала тензорного исчисления / Борисенко А.И., Тарапов И.Е. - 6-е изд., испр. и доп. - Харьков: Золотые страницы, 2003. - 320 с. - ISBN 966-8032-70-5  Место хранения:   015 | Библиотека Института гидродинамики CO РАН | Новосибирск

Оглавление / Contents

К читателям ..................................................... 5 Предисловие к 6-му изданию ...................................... 8 Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ ................. 9 § 1.1. Векторы и скаляры ........................................ 9 § 1.2. Сложение и вычитание векторов. Проекция вектора на ось .................................................. 11 § 1.3. Умножение вектора на скаляр. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора ............................ 14 § 1.4. Скалярное и векторное произведение двух векторов ........ 22 § 1.5. Произведения трех векторов .............................. 28 § 1.6. Взаимные базисы векторов. Ковариантные и контравариантные составляющие вектора. Сокращенные обозначения ............................................. 31 § 1.7. Переменные векторы ...................................... 42 Задачи с решениями ............................................. 46 Упражнения ..................................................... 62 Глава 2. ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА И ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕГО КОМПОНЕНТ ............................................. 67 § 2.1. Компоненты тензоров и их преобразование. Равноправность координатных систем ...................... 67 § 2.2. Тензоры нулевого ранга (скаляры) ........................ 69 § 2.3. Тензоры первого ранга (векторы) ......................... 71 § 2.4. Тензоры второго ранга ................................... 75 § 2.5. Тензоры высших рангов ................................... 89 § 2.6. Преобразование компонент векторов и тензоров при повороте координатной плоскости вокруг перпендикулярной оси .................................... 90 § 2.7. Инвариантность тензорных уравнений ...................... 94 § 2.8. Криволинейные координаты ................................ 96 § 2.9. Тензоры в системах обобщенных координат ................ 103 Задачи с решениями ............................................ 108 Упражнения .................................................... 118 Глава 3. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА .................................... 121 § 3.1. Сложение тензоров ...................................... 121 § 3.2. Умножение тензоров ..................................... 122 § 3.3. Свертывание тензоров ................................... 123 § 3.4. Свойство симметрии тензоров ............................ 125 § 3.5. Единичный тензор. Метрический тензор ................... 130 § 3.6. Главные оси тензора. Приведение тензора к главным осям ................................................... 132 § 3.7. Инварианты тензора ..................................... 145 § 3.8. Признак тензорности величин ............................ 151 § 3.9. Псевдотензоры .......................................... 152 § 3.10.Линейное n-мерное пространство. Векторы и тензоры в n-мерном пространстве ................................ 158 Задачи с решениями ............................................ 161 Упражнения .................................................... 166 Глава 4. ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ ......................... 168 § 4.1. Тензорное поле. Циркуляция ............................. 168 § 4.2. Теорема Гаусса - Остроградского и теорема Стокса ....... 172 § 4.3. Скалярное поле. Производная по направлению. Оператор ............................................. 182 § 4.4. Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля. Дифференцирование вектора по направлению ............... 189 § 4.5. Поле тензора второго ранга. Поток, дивергенция и производная по направлению тензорного поля ............. 210 § 4.6. Ковариантное дифференцирование тензоров. Ковариантная производная вектора. Символы Кристоффеля ............................................ 212 § 4.7. Применение дифференциальных операций к различного вида векторным и скалярным функциям .................... 219 § 4.8. Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа ... 231 § 4.9. Потенциальное векторное поле. Скалярный потенциал ...... 253 § 4.10.Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал ..... 258 § 4.11.Лапласово векторное поле. Гармонические функции ........ 262 § 4.12.Основная теорема векторного анализа (теорема Стокса - Гельмгольца) ........................................... 270 § 4.13.Условия совместности. Восстановление векторного поля смещений по компонентам тензора деформаций ............. 282 Задачи с решениями ............................................ 286 Упражнения .................................................... 311 Список литературы ............................................. 314 Предметный указатель .......................................... 315