Введение ........................................................ 3
Раздел I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава 1. Функция ................................................ 4
§ 1.1. Понятие функции. Область определения функции ............. 4
§ 1.2. График функции. Простейшие преобразования графика ....... 14
§ 1.3. Предел переменной величины. Бесконечно малая и
бесконечно большая величина ............................. 27
§ 1.4. Нахождение пределов ..................................... 38
§1.5. Число е, lim ............................................. 49
а→0
§ 1.6. Разные примеры на нахождение пределов ................... 57
§ 1.7. Сравнение бесконечно малых величин ...................... 60
§ 1.8. Непрерывность функции ................................... 65
Раздел II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Глава 2. Производная и дифференциал ............................ 71
§ 2.1. Производные степенных и тригонометрических
функций ................................................. 72
§ 2.2. Производная сложной функции ............................. 75
§ 2.3. Производные показательных и логарифмических
функций ................................................. 79
§ 2.4. Производные обратных тригонометрических функций ......... 82
§ 2.5. Производные неявных функций ............................. 85
§ 2.6. Производные высших порядков ............................. 87
§ 2.7. Производные гиперболических функций и функций,
заданных параметрически ................................. 90
§ 2.8. Дифференциал функции .................................... 93
Глава 3. Приложения производной ................................ 97
§ 3.1. Правило Лопиталя-Бернулли ............................... 97
§ 3.2. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Угол между кривыми. Кривизна плоской кривой.
Скорость и ускорение ................................... 106
§ 3.3. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции ............... 115
§ 3.4. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
Асимптоты кривой ....................................... 125
§ 3.5. Исследование функций и построение их графиков .......... 130
Раздел III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава 4. Неопределенный интеграл .............................. 146
§ 4.1. Интегрирование разложением ............................. 148
§ 4.2. Независимость вида неопределенного интеграла
от выбора аргумента функции ............................ 151
§ 4.3. Метод подстановки ...................................... 155
§ 4.4. Метод интегрирования по частям ......................... 162
§ 4.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих
квадратный трехчлен .................................... 167
§ 4.6. Интегрирование рациональных функций .................... 172
§ 4.7, Интегрирование тригонометрических функций .............. 184
§ 4.8. Интегрирование некоторых иррациональных
функций .............................................. 190
§ 4.9. Интегрирование гиперболических функций ................. 196
Глава 5. Определенный интеграл и его приложения ............... 199
§ 5.1. Вычисление определенного интеграла ..................... 200
§ 5.2. Площадь криволинейной фигуры в декартовых
и полярных координатах ................................. 206
§ 5.3. Длина дуги кривой ...................................... 212
§ 5.4. Объем тела вращения .................................... 218
§ 5.5. Приложения определенных интегралов к решению
простейших физических задач ............................ 222
§ 5.6. Несобственные интегралы ................................ 226
Раздел IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Глава 6. Функции нескольких переменных ........................ 232
§ 6.1. Область определения функции двух и трех переменных.
Частное и полное приращение ............................ 232
§ 6.2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность .... 237
Глава 7. Производные и дифференциалы .......................... 243
§ 7.1. Частные производные и полный дифференциал функции
нескольких переменных .................................. 243
§ 7.2. Производные и дифференциалы высших порядков ............ 247
§ 7.3. Дифференцирование неявных функций ...................... 251
§ 7.4. Дифференцирование сложных функций ...................... 255
Глава 8. Применения частных производных ....................... 260
§ 8.1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности .......... 260
§ 8.2. Экстремум функции нескольких переменных ................ 264
§ 8.3. Наибольшее и наименьшее значения функции ............... 268
Раздел V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 9. Дифференциальные уравнения первого порядка ........... 283
§ 9.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными ............................................ 284
§ 9.2. Однородные дифференциальные уравнения первого
порядка ................................................ 289
§ 9.3. Линейные дифференциальные уравнения первого
порядка. Уравнение Бернулли ............................ 296
§ 9.4. Уравнения в полных дифференциалах ...................... 305
§ 9.5. Разные дифференциальные уравнения первого порядка ...... 313
§ 9.6. Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям ..... 314
Глава 10. Дифференциальные уравнения второго порядка .......... 326
§ 10.1. Простейшие типы интегрируемых уравнений
второго порядка, случаи понижения порядка ............. 326
§ 10.2. Однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами .................. 332
§ 10.3. Неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами .......... 335
Глава 11. Дифференциальные уравнения порядка выше второго.
Системы дифференциальных уравнений .................. 345
§ 11.1. Уравнения, допускающие понижение порядка .............. 345
§ 11.2. Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами ........................................ 348
§ 11.3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами ........................................ 352
§ 11.4. Системы линейных уравнений с постоянными
коэффициентами ........................................ 360
Раздел VI. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Глава 12. Приближенное решение уравнений ...................... 368
§ 12.1. Отделение корней уравнений ............................ 368
§ 12.2. Метод касательных ..................................... 371
§ 12.3. Метод итераций ........................................ 373
Глава 13. Приближенное вычисление определенных
интегралов .......................................... 378
§ 13.1. Формулы прямоугольников ............................... 378
§ 13.2. Формула трапеций ...................................... 381
§ 13.3. Формула парабол ....................................... 384
Глава 14. Приближенное решение дифференциальных уравнений ..... 388
§ 14.1. Метод Эйлера .......................................... 388
§ 14.2. Метод Рунге-Кутта ..................................... 390
Глава 15. Интерполирование функций ............................ 395
§ 15.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа ................... 395
§ 15.2. Разности различных порядков. Разделенные разности ..... 399
§ 15.3. Интерполяционный многочлен Ньютона .................... 406
Литература .................................................... 411
|
